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Aussagen Negieren Beispiel Essay

In diesem Kapitel werde ich dir erklären, wie du mathematische Aussagen und Aussageformen negieren kannst. Hierzu werden wir den Weg über die formale Schreibweise gehen, weil Ausdrücke dieser Schreibweise leichter zu negieren sind. Das liegt daran, dass Aussagen in der formalen Schreibweise durch einfache Umformungsregeln negiert werden können. Dies ist deutlich einfacher als Ausdrücke intuitiv zu negieren.

Du kannst ja einmal versuchen, folgende Beispiele zu negieren. Du wirst sehen, dass die intuitive Negation nicht einfach ist (an dieser Stelle wird nicht erwartet, dass du bereits die folgenden Ausdrücke negieren kannst). Die ersten beiden Aussageformen stammen im Übrigen aus der Analysis 1 und werden dir damit im weiteren Studium durchaus begegnen. Versuche also mal folgende Ausdrücke zu negieren:

Die Negation dieser Ausdrücke findest du später im Abschnitt „Beispiele“.

Allgemeine Vorgehensweise[Bearbeiten]

Um nun eine in natürlicher Sprache gegebene Aussage zu negieren, kannst du folgendermaßen vorgehen:

Sollte die Aussage in formaler Schreibweise vorliegen, dann entfallen der erste und der letzte Schritt. Diese beiden Schritte, also die Übersetzung von natürlicher in formaler Schreibweise und umgekehrt, erkläre ich dir im Kapitel „Aussagen formalisieren“.

Umformungsregeln zum Negieren[Bearbeiten]

Wie ich dir bereits gesagt habe, gibt es Regeln zur Negation von Aussagen in formaler Schreibweise. Diese sind:

Form der Negationumgeformte AussageBedeutung
Nicht oder nicht .
Nicht und nicht .
Obwohl , gilt nicht .
Entweder oder (aber nicht beides gleichzeitig).
Genau dann , wenn nicht .
Es gibt ein mit nicht .
Es gibt ein mit nicht .
Für alle ist nicht .
Für alle ist nicht .
Für jedes gilt: hat nicht die Eigenschaft oder es gibt ein von verschiedenes mit der Eigenschaft .
Es gibt kein oder mindestens zwei mit .

Wieso sind die Umformungsregeln so definiert? Das liegt daran, dass die Aussagen der linken Spalte äquivalent zu den Aussagen der rechten Spalte sind. Dies bedeutet, dass die Aussagen der linken Spalte genau dann wahr sind, wenn die entsprechenden Aussagen der rechten Spalte wahr sind. Wenn du dir die umgeformten Aussagen anschaust, dann siehst du, dass die Negation in den Teilaussagen weitergereicht wird. So können die Ausdrücke schrittweise durch die Umformungsregeln negiert werden, bis am Ende die komplette Negation vorliegt.

Bei der Negation der Äquivalenz kannst du dir im Übrigen aussuchen, ob du diese Aussage zu oder zu umformst. Die erste Umformung ist einfacher, verwendet aber die Kontravalenz . Diese wird in der Mathematik nicht häufig verwendet und möglicherweise wurde sie nicht in deiner Vorlesung besprochen.

Zur Regel mit dem eindeutigen Existenzquantor[Bearbeiten]

Bei der Regel mit dem eindeutigen Existenzquantor haben wir ausgenutzt, dass wir auch folgendermaßen schreiben können:

Diese Aussage kann nun mit den anderen Umformungsregeln negiert werden, sodass man dann am Ende erhält:

Man kann auch einen anderen Weg gehen: Man fängt mit der Aussage

„Es gibt genau ein mit .“

an und negiert diese intuitiv zu

„Es gibt kein oder mindestens zwei mit .“

Diese Aussage in der Prädikatenlogik formalisiert lautet

Dies ist dann die zweite Möglichkeit, um einen Ausdruck mit einen eindeutigen Existenzquantor zu negieren.

Beispiele[Bearbeiten]

Ausführliches Beispiel[Bearbeiten]

Betrachten wir zunächst folgende Aussage

„Zu jedem

Einleitung

Diese Erläuterung und Übungen zur Verneinung als PDF kaufen inkl. Zusatzübungen

Wenn wir im Deutschen eine Aussage verneinen wollen, müssen wir wissen, wann die Negation mit nicht und wann mit kein gebildet wird.

Hier lernst du die Verneinung von Sätzen und die richtige Verwendung von nicht und kein. In den Übungen kannst du dein Wissen anschließend testen.

Die Verwendung von nicht

Wir verwenden nicht zur Negation:

  • von Verben
    (nicht steht bei einfachen Zeitformen am Satzende, bei zusammengesetzten Zeitformen vor dem Vollverb am Satzende)
    Beispiel:
    Er schläftnicht.
    Er hat gestern Nacht nichtgeschlafen.
  • von Nomen mit bestimmtem Artikel oder Possessivpronomen
    (nicht steht vor dem bestimmten Artikel)
    Beispiel:
    Er hat nichtdas Essen bezahlt, sondern die Getränke.
    Ich habe nichtseine Adresse, sondern ihre.
  • von Eigennamen
    (nicht steht vor dem Eigennamen)
    Beispiel:
    Das ist nichtUdos Auto, sondern Susis.
  • von Pronomen
    (nicht steht vor dem Pronomen)
    Beispiel:
    Ich habe nichtdich gerufen, sondern Petra.
  • von Adjektiven
    (nicht steht vor dem Adjektiv)
    Beispiel:
    Das ist nichtfair!
  • von Adverbien
    (nicht steht vor dem Adverb)
    Beispiel:
    Sie geht nichtgerne schwimmen.
  • von Ort, Zeit sowie Art/Weise
    (nicht steht vor der Präposition, die zur Angabe von Ort, Zeit bzw. Art/Weise gehört)
    Beispiel:
    Wir wohnen nichtin Berlin.
    Der Zug kommt nichtum 18 Uhr an.
    Otto hat das Loch nichtmit dem Spaten gegraben.

Merke

Außer bei der Negation von Verben steht nicht also immer vor dem, was negiert werden soll.

Die Verwendung von kein

Wir verwenden kein:

  • bei Nomen ohne Artikel
    Beispiel:
    Ich habe Hunger. – Ich habe keinen Hunger.
  • anstelle eines unbestimmten Artikels
    Beispiel:
    Das ist eine Katze. – Das ist keine Katze.

Die Endungen von kein entsprechen denen der Possessivpronomen als Begleiter (Possessivartikel):

NominativGenitivDativAkkusativ
maskulinkeinkeineskeinemkeinen
femininkeinekeinerkeinerkeine
neutralkeinkeineskeinemkein
Pluralkeinekeinerkeinenkeine

Die Verwendung von nicht/kein bei Nomen

In den folgenden Fällen können wir sowohl nicht als auch kein verwenden:

  • bei Nomen + Verb, die eine feste Einheit bilden (z. B.Auto fahren)
    Beispiel:
    Mein Vater kann nichtAuto fahren.
    Mein Vater kann keinAuto fahren.
  • bei Gegenüberstellungen mit sondern
    Beispiel:
    Ich habe nicht Kaffee, sondern Tee bestellt.
    Ich habe keinen Kaffee, sondern Tee bestellt.
    Sie hat sich nicht eine Jacke gekauft, sondern eine Hose.
    Sie hat sich keine Jacke gekauft, sondern eine Hose.